EJERCICIOS PROPUESTOS TEMAS LEY DEL SENO Y LEY DEL COSENO

SOLUCION TRIANGULOS OBLICUANGULOS LEY SENO Y COSENO

Resolución de un triangulo oblicuangulo con la Ley del Seno

Se usa la ley de senos ya que se conoce el lado opuesto al ángulo dado.

En este ejemplo solo existe una posible solución al problema dado. De hecho el triángulo encontrado es rectángulo con lo que se muestra que siempre se cumple el teorema del seno sin importar la forma del triángulo.

Cuando hablamos de la ley de senos veíamos que había dos casos para utilizarlo y resolver un triángulo cualquiera, el primer caso es que se tuviera dos ángulos y un lado conocido y el segundo caso era que conociéramos dos lados y un ángulo conocido opuesto a uno de los dos lados. En este video veremos un ejemplo en donde se conocen dos de los lados del triángulo, en este caso el lado b que es igual a 10√2 y el lado c que es igual a 10 y se conoce también el ángulo C que es igual a 45°grados, entonces se desconocen los ángulos A y B y el lado a. 

Para resolver este problemas podemos hallar el valor del ángulo B utilizando la ley del seno que nos dice que a sobre el seno de A o ángulo que se le opone es igual a b sobre el seno de B o ángulo que se le opone e igual a c sobre seno de C o ángulo que se le opone, es decir: a/senA=b/senB=c/senC teniendo en cuenta los valores ya conocidos por nosotros vemos que para hallar el ángulo B podemos formar la siguiente relación b/senB=c/senC que es lo mismo que (10√2)/senB=10/sen45 despejando a el seno de B vemos que obtenemos la siguiente expresión senB=1 y al sacar el seno inverso en una calculadora vemos que el ángulo B toma un valor de 90° grados, como ya tenemos el valor de dos ángulos podemos hallar el valor del ángulo A C ya que sabemos que la suma interna de los ángulos de cualquier triángulo es 180° grados, vemos entonces que el ángulo A adquiere un valor de 45° grados. Para hallar el lado a podemos establecer cualquier relación, en el caso del video a/senA=b/senB que es lo mismo que a/sen45=(10√2)/sen90 despejando el lado a vemos que este adquiere un valor de 10.  

 

 

 

Teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

Historia

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.² Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso».
Euclides, Elementos.3

 

 

Problemas trigonometria, calcular distancias desconocidas

 Problemas trigonometria, calcular distancias desconocidas

Problemas de trigonometria. La trigonometría se utiliza para calcular distancias desconocidas, midiendo ángulos (con un aparato que se llama teodolito) y distancias conocidas. Ejercicios de trigonometria.

Cálcular distancias desconocidas

Ejemplo para medir la altura de un edificio desde el suelo

Problemas trigonometria calcular distancias

1.  Juán y Pedro ven desde las puertas de sus casa una torre, bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.

Hacemos un dibujo con los datos.

Al trazar la altura de la torre se origina dos triángulos rectángulos.

Si llamamos x a la distancia de uno de los observadores al pie de la torre, la distancia del otro debe ser 126 - x.

Utilizamos las tangentes en ambos triángulos rectángulos, ya que tienen en conún un cateto que es la altura de la torre.

Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos.

Ejercicios y problemas de trigonometria con soluciones

Actividades interactivas

>   Resolver cualquier triángulo, escribiendo los datos de los ángulos y lados que sepamos.

Funciones trigonométricas from Alejandra Muñoz

CRITERIOS DE SEMEJANZA

Teorema de Tales

Tales de Mileto.

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

Primer teorema

Una aplicación del teorema de Tales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Teorema primero Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. Tales de Mileto

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

 Leyenda
Según la leyenda (relatada por Plutarco),¹ Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.



CIBERGRAFIA

Tomado como referencia sólo para efectos pedagógicos en línea de http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales