Resolución de un triangulo oblicuangulo con la Ley del Seno

Se usa la ley de senos ya que se conoce el lado opuesto al ángulo dado.

En este ejemplo solo existe una posible solución al problema dado. De hecho el triángulo encontrado es rectángulo con lo que se muestra que siempre se cumple el teorema del seno sin importar la forma del triángulo.

Cuando hablamos de la ley de senos veíamos que había dos casos para utilizarlo y resolver un triángulo cualquiera, el primer caso es que se tuviera dos ángulos y un lado conocido y el segundo caso era que conociéramos dos lados y un ángulo conocido opuesto a uno de los dos lados. En este video veremos un ejemplo en donde se conocen dos de los lados del triángulo, en este caso el lado b que es igual a 10√2 y el lado c que es igual a 10 y se conoce también el ángulo C que es igual a 45°grados, entonces se desconocen los ángulos A y B y el lado a.

Para resolver este problemas podemos hallar el valor del ángulo B utilizando la ley del seno que nos dice que a sobre el seno de A o ángulo que se le opone es igual a b sobre el seno de B o ángulo que se le opone e igual a c sobre seno de C o ángulo que se le opone, es decir: a/senA=b/senB=c/senC teniendo en cuenta los valores ya conocidos por nosotros vemos que para hallar el ángulo B podemos formar la siguiente relación b/senB=c/senC que es lo mismo que (10√2)/senB=10/sen45 despejando a el seno de B vemos que obtenemos la siguiente expresión senB=1 y al sacar el seno inverso en una calculadora vemos que el ángulo B toma un valor de 90° grados, como ya tenemos el valor de dos ángulos podemos hallar el valor del ángulo A C ya que sabemos que la suma interna de los ángulos de cualquier triángulo es 180° grados, vemos entonces que el ángulo A adquiere un valor de 45° grados. Para hallar el lado a podemos establecer cualquier relación, en el caso del video a/senA=b/senB que es lo mismo que a/sen45=(10√2)/sen90 despejando el lado a vemos que este adquiere un valor de 10.

Teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,$

Historia

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.² Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso».
Euclides, Elementos.3