Apreciado usuario (a): En este Blog encontrará algunos aportes conceptuales, procedimentales y de apoyo para que su curso de TRIGONOMETRÍA sea mas dinámico y productivo.
Estimados estudiantes del Grado 10 - 01 estos son los ejercicios que comentamos en clase por favor deben realizarlos con procedimientos, representación de las coordenadas en el Plano Cartesiano y respuestas correspondientes a cada pregunta formulada.
Nota: Recuerden los deben presentar según lo acordado el día viernes 20 de noviembre de 2015 en el salón Nº 10 a la 5º Hora junto con el desarrollo de la Guía de los 14 problemas de resolución de triangulos. Son objeto de evaluación final. 1.- Hallar la distancia entre los puntos dados:
P (4,5); Q (2,1)d. P (8,-1); Q (0,-4)
P ( -1,6); Q (3,-2)e. P (6,-3); Q (2,-3)
c. P (4,0); Q (5,8)f. P (5,-3); Q (6,-7) 2.- Encontrar la longitud de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos dados:
A (3,2), B (7,-1), C ( -4,-5)
P (0,4); Q (0,5), R (12,4)
E (-1,2); F (4,0), G (0-6)
H (3,2); I (2,1), J (6-2)
3.- Comprobar que los puntos (3,1), (6,1), (5,-2) y (2,-2) son los vértices de un paralelogramo. (Sugerencia: si cuadrilátero tiene los lados opuestos iguales, entonces es un paralelogramo).
4.- Comprobar que el triángulo cuyos vértices son A(6,7), B (-2,7) y C (10,4.8) es isósceles.
5.- Comprobar que el triángulo cuyos vértices son A (6,-5.2), B(3,1.8) y C (10,4.8) es un rectángulo.
La geometría plana incluye el estudio de figuras tales como rectas, círculos y triángulos que están en un plano. Los teoremas son demostrados por medio de razonamientos deductivos a partir de ciertos postulados. En la geometría analítica, se estudian las figuras geométricas planas introduciendo un sistema coordenado y usando ecuaciones y fórmulas de varios tipos. Si el estudio de la geometría analítica se pudiera resumir en una sola frase quizá la siguiente sería la apropiada: "Dada una ecuación, hallar su gráfica y recíprocamente, dada una gráfica, hallar su ecuación". A continuación en este estudio aplicaremos métodos a varias figuras planas importantes.
LA RECTA
Comenzaremos por estudiar en este apartado, el lugar geométrico de los puntos colineales que forman la línea recta en un sistema de coordenadas cartesianas. Su grado de inclinación con respecto al eje X denominado pendiente m de la recta. Observese con atención los siguientes videos tutoriales, ejercicios resueltos, así como los recursos didáticos seleccionados y compilados para el tema que ejemplifican los aspectos algebraicos y geométricos explicados en las clases.
CONCEPTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Tomado del libro Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica de Earl W. Swokowski . Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. México. Edición 2ª
------
TALLER DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Taller # 1.
Ojo al ojo, de este primer taller recuerden estimados estudiantes que deben trabajar los ejercicios Nº 7 Nº 8 , desde el Nº 25 al Nº 34 usando la fórmula m=-A/B. Estos son objeto de revisión para evaluación.
Tomado del libro Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica de Earl W. Swokowski . Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. México. Edición 2ª
Taller de Geometría analítica. Taller # 2. Tema1. La Recta
Ojo
al ojo, de este primer taller recuerden estimados estudiantes que deben
trabajar los ejercicios Nº 1, Nº 2, Nº 4 usando la
fórmula m=-A/B. Además el ejercicio Nº 5 usando la fórmula de la distancia entre dos puntos. Estos son objeto de revisión para evaluación
1.- Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).
2.- Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).
3.- Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y − 7 = 0.( Para la pendiente úsese el álgebra y para identificar su origen empléese el método gráfico)
4.- Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones: (Hallando la pendiente m)
a. 2x + 3y − 4 =0
b. x − 2y + 1= 0
c. 3x − 2y − 9 = 0
d. 4x + 6y − 8 = 0
e. 2x − 4y − 6 = 0
f. 2x + 3y + 9 = 0
5.- Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.
6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).
******************************************************************************************************************
En esta parte del curso, mis apreciados estudiantes de grado 10º, les invito a poner a prueba las competencias que hemos venido desarrollando en el manejo, aplicación y ejercitación de las herramientas trigonométricas, así como los conceptos básicos cuando de resolver problemas relacionados con triangulos se trata.
En este compilado de problemas extractado del texto MATEMÁTICA PROGRESIVA 10º de Editorial Norma, se encuentran 14 ejercicios varios, los cuales vinculan tanto representaciones con triángulos rectángulos como representaciones con triangulos acutángulos u oblicuángulos por tanto será necesario observar que tipo de representación trigonométrica exige cada problema para así, determinar qué técnicas y conceptos trigonométricos se deben aplicar en cada caso.
******************************************************************************************************************
Resolución de un triangulo oblicuangulo con la Ley del Seno
Se usa la ley de senos ya que se conoce el lado opuesto al ángulo dado.
En
este ejemplo solo existe una posible solución al problema dado. De
hecho el triángulo encontrado es rectángulo con lo que se muestra que
siempre se cumple el teorema del seno sin importar la forma del
triángulo.
Cuando hablamos de la ley de senos veíamos que
había dos casos para utilizarlo y resolver un triángulo cualquiera, el
primer caso es que se tuviera dos ángulos y un lado conocido y el
segundo caso era que conociéramos dos lados y un ángulo conocido opuesto
a uno de los dos lados. En este video veremos un ejemplo en donde se
conocen dos de los lados del triángulo, en este caso el lado b que es
igual a 10√2 y el lado c que es igual a 10 y se conoce también el ángulo
C que es igual a 45°grados, entonces se desconocen los ángulos A y B y
el lado a.
Para resolver este problemas podemos hallar el valor del
ángulo B utilizando la ley del seno que nos dice que a sobre el seno de A
o ángulo que se le opone es igual a b sobre el seno de B o ángulo que
se le opone e igual a c sobre seno de C o ángulo que se le opone, es
decir: a/senA=b/senB=c/senC teniendo en cuenta los valores ya conocidos
por nosotros vemos que para hallar el ángulo B podemos formar la
siguiente relación b/senB=c/senC que es lo mismo que
(10√2)/senB=10/sen45 despejando a el seno de B vemos que obtenemos la
siguiente expresión senB=1 y al sacar el seno inverso en una calculadora
vemos que el ángulo B toma un valor de 90° grados, como ya tenemos el
valor de dos ángulos podemos hallar el valor del ángulo A C ya que
sabemos que la suma interna de los ángulos de cualquier triángulo es
180° grados, vemos entonces que el ángulo A adquiere un valor de 45°
grados. Para hallar el lado a podemos establecer cualquier relación, en
el caso del video a/senA=b/senB que es lo mismo que a/sen45=(10√2)/sen90
despejando el lado a vemos que este adquiere un valor de 10.
Teorema del coseno
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al
ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el
ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los
del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior
cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso».
Euclides, Elementos.3
Problemas de trigonometria. La trigonometría se utiliza para calcular distancias desconocidas,
midiendo ángulos (con un aparato que se llama teodolito) y distancias conocidas. Ejercicios de trigonometria.
Cálcular distancias desconocidas
Ejemplo para medir la altura de un edificio desde el suelo
Problemas trigonometria calcular distancias
1. Juán y Pedro ven desde las puertas de sus casa una torre, bajo ángulos de 45°
y 60°. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halla la
altura de la torre.
Hacemos un dibujo con los datos.
Al trazar la altura de la torre se origina dos triángulos rectángulos.
Si llamamos x a la distancia de uno de los observadores al pie de la torre, la distancia del otro debe ser 126 - x.
Utilizamos las tangentes en ambos triángulos rectángulos, ya que tienen en conún un cateto que
es la altura de la torre.
Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos.
Ejercicios y problemas de trigonometria con soluciones
Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
Primer teorema
Una aplicación del teorema de Tales.
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:
Teorema primero
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus
lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la
condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema
de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los
lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin
embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se
deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a
raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza
entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus
lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en
un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud
del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a
modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo
pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el
triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos
triángulos son semejantes, se cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente
es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):
Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y
S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
Leyenda
Según la leyenda (relatada por Plutarco),1 Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza
(las de Keops, Kefrén y Micerino), construidas varios siglos antes.
Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso
saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con
semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B)
son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las
mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea
perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la
pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las
caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.
Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.
CIBERGRAFIA
Tomado como referencia sólo para efectos pedagógicos en línea de http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales
Los momentos
estalares de la humanidad se presentan en épocas de grandes crísis,
cuando las matemáticas como la aritmética, la geometría y el álgebra no
pueden responder a los requerimientos del desarrollo de la ciencia; una
gran cantidad de nuevas ramas de las matemáticas surgen para dar
respuestas a los interrogantes que la época requiere.
La
geometría analítica, el cálculo, los logarítmos y el estudio en general
del movimiento producen lo que se llama la gran revolución científica.
En ella, la trigonometría es la principal aliada de los científicos que
con largas y precisas observaciones del movimiento de los planetas
pueden fundamentar con Newton a la cabeza una nueva concepción del
universo regido por leyes mecánicas de una asombrosa precisión.
, por lo tanto la altura de la pirámide es 
, con lo cual resolvió el problema.
